Question

已知定圓A：（x+1）²+y²=16，圓心為A，動圓M過點B（1，0）且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若點P（x₀，y₀）為曲線C上一點，求證：直線l：3x₀x+4y₀y-12=0與曲線C有且只有一個交點．

Answer 1

分析：（I）依據條件判斷定圓和動圓相內切，再依據橢圓的定義寫出曲線C的方程．
（II）分類討論，當y₀=0時，檢驗直線l：3x₀x+4y₀y-12=0與曲線C有且只有一個交點，當y₀≠0時，把直線和橢圓方程聯立方程組，利用點P（x₀，y₀）為曲線C上一點，求出只有一個解，并說明直線和橢圓只有唯一交點．

解答：解：（I）圓A的圓心為A（-1，0），半徑r₁=4，
設動圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
故曲線C的方程為

x 2

4

+

y2

3

=1.（6分）
（II）解：當y0=0時，由

x 4 0

4

+

y 2 0

3

=1，可得x0=±2，當x₀=2，y₀=0時，直線l的方程為x₀=2，
直線l與曲線C有且只有一個交點（2，0）．
當x₀=-2，y₀=0時，直線l的方程為x₀=-2，
直線l與曲線C有且只有一個交點（-2，0）．
當y0≠0時，直線l的方程為y=

12-3x0x

4y0

，
聯立方程組：

y= 12-3x0x 4y0 x2 4 + y2 3 =1.

消去y，得（4y₀²+3x₀³）x²-24x₀x+48-16y₀²=0．①
由點P（x₀，y₀）為曲線C上一點，得

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．?可得4

y

2 0

+3

x

2 0

=12.
于是方程①可以化簡為x²-2x₀x+x₀²=0．解得x=x₀，
將x=x0代入方程y=

12-3x0x

4y0

可得y=y0，
故直線l與曲線C有且有一個交點P（x₀，y₀），
綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點，且交點為P（x₀，y₀）．（13分）

點評：本題考查兩圓的位置關系、用定義法求軌跡方程，直線和橢圓位置關系的綜合應用．