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選修4-1：集合證明選講
已知AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，CD⊥AB于點D，弦BE與CD、AC分別交于點M、N，且MN=MC
（1）求證：MN=MB；
（2）求證：OC⊥MN．
分析：（1）連結AE，BC，根據直徑所對的圓周角是直角，得∠AEB=90°，根據等量代換得∠MBC=∠MCB，最后利用三角形的性質即可得出MB=MC，從而得到MN=MB；
（2）設OC∩BE=F，根據OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由（1）知，∠MBC=∠MCB，等量代換得∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°即可證出結論．
解答：證明：（Ⅰ）連結AE，BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°
∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC
又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN
∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，
∴MB=MC，
∴MN=MB．…（5分）
（Ⅱ）設OC∩BE=F，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB
由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC
∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．…（10分）
點評：本小題主要考查與圓有關的比例線段、圓的性質的應用等基礎知識，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經過圓心交⊙O于C，D兩點，若PA=2，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑長為
13
13
．

（B）選修4-4：坐標系與參數方程
參數方程
x=
1
2
(et+e-t)
y=
1
2
(et-e-t)
中當t為參數時，化為普通方程為
x2-y2=1
x2-y2=1
．
（C）選修4-5：不等式選講
不等式|x-2|-|x+1|≤a對于任意x∈R恒成立，則實數a的集合為
{a|a≥3}
{a|a≥3}
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經過圓心交⊙O于C，D兩點，若PA=2，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑長為
13
13
．

（B）選修4-4：坐標系與參數方程
參數方程
x=
1
2
(et+e-t)
y=
1
2
(et-e-t)
中當t為參數時，化為普通方程為
x2-y2=1（x≥1）
x2-y2=1（x≥1）
．
（C）選修4-5：不等式選講
不等式|2-x|+|x+1|≤a對于任意x∈[0，5]恒成立的實數a的集合為
{a|a≥9}
{a|a≥9}
．

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科目：高中數學 來源：2013年遼寧省高考數學模擬最后一卷（文科）（解析版） 題型：解答題

選修4-1：集合證明選講
已知AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，CD⊥AB于點D，弦BE與CD、AC分別交于點M、N，且MN=MC
（1）求證：MN=MB；
（2）求證：OC⊥MN．

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科目：高中數學 來源：2012年陜西省西安市高新一中高三大練習數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經過圓心交⊙O于C，D兩點，若PA=2，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑長為    ．

（B）選修4-4：坐標系與參數方程
參數方程中當t為參數時，化為普通方程為    ．
（C）選修4-5：不等式選講
不等式|2-x|+|x+1|≤a對于任意x∈[0，5]恒成立的實數a的集合為    ．

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