Question

【題目】已知拋物線，直線交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)、．

（）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，證明，為定值．

（）當(dāng)時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；反之，請(qǐng)說明理由．

（）記，如果直線過點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．問是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）直線，點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）易判斷直線有斜率且不為0，設(shè)，代入拋物線方程消掉 得的二次方程，由韋達(dá)定理即可證明；
（2）分情況討論：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，其中，代入拋物線方程消掉 得的二次方程，由韋達(dá)定理及得的關(guān)系式，假設(shè)直線過定點(diǎn)，則，用消掉即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)，代入拋物線方程易求，由已知可求得 可判斷此時(shí)直線也過該定點(diǎn)；
（3）易判斷直線存在斜率且不為0，由（1）及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入直線方程得，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，消掉參數(shù)后即得其普通方程，由方程及拋物線定義可得準(zhǔn)線、焦點(diǎn)即為所求；

試題解析：（）證明：過點(diǎn)與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知其斜率一定存在，

設(shè)，其中（若時(shí)不合題意），

由得，

∴．

（）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，其中（若時(shí)不合題意）．

由得，

∴，從而．

假設(shè)直線過定點(diǎn)，則，

從而，得，即，即或定點(diǎn)．

②當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)，代入得，，

∴，

解得，即，也過．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)．

（）依題意直線的斜率存在且不為零．

由（）得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

代入得，即．

設(shè)，則，消得，

由拋物線的定義知，存在直線，點(diǎn)，點(diǎn)到它們的距離相等．