設函數(shù)定義在R上，對任意實數(shù)m、n，恒有且當

（1）求證：f（0）=1，且當x＜0時，f（x）＞1；

（2）求證：f（x）在R上遞減。

 

【答案】

略

【解析】（1）證明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，

令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.

∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1…………………2分

設x＜0，則－x＞0.令m=x，n=－x，代入條件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，

∴f（x）=＞1……………………….6分

（2）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0，∴0＜f（x2－x1）＜1………………….8分

令m=x1，m+n=x2，則n=x2－x1，代入條件式，得f（x2）=f（x1）·f（x2－x1），…10分

即0＜＜1.∴f（x2）＜f（x1）……………….12分

∴f（x）在R上單調遞減………………….14分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年天津市高三第四次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

設是定義在R上的周期函數(shù)，周期為，對都有，且當時，，若在區(qū)間內關于x的方程＝0恰有3個不同的實根，則a的取值范圍是（   ）

A．（1，2）          B．          C．           D．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年海南省等4校聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

設是定義在R上的奇函數(shù)，且當x時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（    ）

A．       B．        C．       D．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆浙江省高二下期中文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

設是定義在R上的奇函數(shù)，對任意都有，

且時，，則      

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆浙江省寧波市高一上學期期中考試數(shù)學試卷 題型：解答題

（本題滿分16分）

設是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a、b，當時，都有.

（1）若，試比較與的大小關系；

（2）若對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

 

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