Question

【題目】兩圓(圓心,半徑),與(圓心,半徑)不是同心圓,方程相減(消去二次項(xiàng))得到的直線叫做圓 與圓的根軸;

(1)求證:當(dāng)與相交于A,B兩點(diǎn)時(shí),所在直線為根軸;

(2)對(duì)根軸上任意點(diǎn)P,求證:;

(3)設(shè)根軸與交于點(diǎn)H,,求證:H分的比;

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)與相交于兩點(diǎn)時(shí)，兩圓的方程作差可得公共弦所在的直線方程，即可證明結(jié)論；
（2）先確定根軸上的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)位置分類討論，即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)到根軸的距離為，到根軸的距離為，則，即可證明結(jié)論.

證明：（1）當(dāng)與相交于兩點(diǎn)時(shí)，兩圓的方程作差可得，
∴公共弦所在的直線方程為：，

即當(dāng)與相交于兩點(diǎn)時(shí)，所在的直線為根軸；
（2）由（1）得，當(dāng)兩圓相交時(shí)，根軸為兩圓的公共弦所在的直線；

當(dāng)兩圓相切時(shí)，

相當(dāng)于把兩相交的圓逐漸往兩側(cè)移動(dòng)時(shí)，兩交點(diǎn)逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)，此時(shí)兩圓外切，同時(shí)與兩圓相交的公共弦所在直線也就與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，該直線成為兩外切圓的過(guò)同一切點(diǎn)的公切線，即根軸為與兩圓有相同切點(diǎn)的公切線；

當(dāng)兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，

直線方程可以變形為：，即根軸上的點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)相等．

當(dāng)點(diǎn)是兩圓交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)兩圓相交或相切，有

當(dāng)點(diǎn)是兩圓內(nèi)部時(shí)，此時(shí)兩圓相交，如圖：

，

，

；

當(dāng)點(diǎn)是兩圓外部時(shí)，此時(shí)兩圓相交，相切，相離，內(nèi)含均可能，如圖：

根據(jù)勾股定理可得：，

因?yàn)楦�軸上的點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)相等，所以，
，

綜上所述：；
（3）設(shè)到根軸的距離為，到根軸的距離為，

則，
.
分的比.