Question

從集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)．
（Ⅰ）記性質(zhì)r：集合中的所有元素之和為10，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)r的概率；
（Ⅱ）記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ

Answer 1

分析：（1）集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集有2⁵-1個(gè)，等可能地取出一個(gè)有31種結(jié)果，而滿足條件集合中的所有元素之和為10的通過列舉有3個(gè)，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（2）所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為ξ，由題意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，類似于第一問得到各值對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：記“所取出的非空子集滿足性質(zhì)r”為事件A
基本事件數(shù)是C₅¹+C₅²+C₅³+C₅⁴+1=31
事件A包含的事件是{1、4、5}，{2、3、5}，{1、2、3、4}
∴P（A）=

3

31

，
（2）由題意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，
ξ的分布列是：
又P（ξ=1）=

C 1 5

31

=

5

31

，
P（ξ=2）=

C 2 5

31

=

10

31

，
P（ξ=3）=

C 3 5

31

=

10

31

P（ξ=4）=

C 4 5

31

=

5

31

P（ξ=5）=

C 5 5

31

=

1

31

∴Eξ=1×

5

31

+2×

10

31

+3×

10

31

+4×

5

31

+5×

1

31

=

80

31

點(diǎn)評(píng)：本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．本題還考到了集合的子集個(gè)數(shù)問題，一個(gè)含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2ⁿ．