【題目】如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10 米，記∠BHE=θ．

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）問：當θ取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度．

【答案】
（1）解：由題意可得EH= ，F(xiàn)H= ，EF= ，由于 BE=10tanθ≤10 ，AF= ≤10 ，

而且 ≤tanθ≤ ，θ∈[ ， ]，

∴L= + + ，θ∈[ ， ]．

即L=10× ，θ∈[ ， ]


（2）解：設sinθ+cosθ=t，則 sinθcosθ= ，由于θ∈[ ， ]，∴sinθ+cosθ=t= sin（θ+ ）∈[ ， ]．

由于L= 在[ ， ]上是單調(diào)減函數(shù)，∴當t= 時，即 θ= 或θ= 時，L取得最大值為 20（ +1）米


【解析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù) L= 在[ ， ]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角函數(shù)的最值(函數(shù)，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，)．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：

①對于任意的，都有；

②當時，，且．

(1)求，的值，并判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，且與橢圓 有相同的焦點．

(1)求橢圓的標準方程；

(2）若動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線交于點，問：以線段為直徑的圓是否經(jīng)過一定點？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，且直線又棱 為的中點，

(Ⅰ) 求證：直線；

(Ⅱ) 求直線與平面的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinx，若存在x1 ， x2 ， …，xn滿足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+ ， 且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，（m≥2，m∈N+），當m取最小值時，n的最小值為 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】幾位同學在研究函數(shù) 時，給出了下面幾個結(jié)論：

①的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；

②若，則一定有；

③函數(shù)的值域為；

④若規(guī)定，，則對任意恒成立．

上述結(jié)論中正確的是____

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點 ，且滿足，

(1)求的解析式；

(2)已知，求函數(shù)在的最大值和最小值；

函數(shù)的圖像上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x＋1)(a＞0，a≠1)．

(1) 若a＝，求函數(shù)f(x)的值域．

(2) 當f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)時，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，，，，點分別為棱的中點.

（1）求證：∥平面；

（2）求三棱錐的體積.

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