Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），若

AF

=λ

FB

，則λ=

3+2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線AB的方程．將直線AB方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根，根據(jù)拋物線的定義和向量的線性關(guān)系式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），可得得直線AB的方程為y=x-1，
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），（x₁＞x₂）
直線AB方程與拋物線的方程聯(lián)解消去y，可得x²-6x+1=0
解之得：x₁=3+2

2

，x₂=3-2

2

，（x₁＞x₂），
∵

AF

=λ

FB

（λ＞0），∴|FA|＞|FB|，并且λ=

|AF|

|FB|

，
由拋物線的定義，可得

|AF|

=x₁+1，

|FB|

=x₂+1，
因此可得λ=

x1+1

x2+1

=

4+2 2

4-2 2

=3+2

2

故答案為：3+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦斜率為1，求焦點(diǎn)分焦點(diǎn)弦所得的比值．考查直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線定義和向量的共線等知識(shí)，屬于中檔題．