Question

設(shè)函數(shù)f（θ）=

3

sinθ+cosθ，其中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

1

2

，

3

2

)，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域Ω：

x+y≥1 x≤1 y≤1

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f（θ）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（θ）=

3

sinθ+cosθ，我們將點(diǎn)P的坐標(biāo)(

1

2

，

3

2

)代入函數(shù)解析式，即可求出結(jié)果．
（II）畫(huà)出滿足約束條件

x+y≥1 x≤1 y≤1

的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合易判斷出θ角的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)我們即可求出函數(shù)f（θ）的最小值和最大值．

解答：解（I）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得：

sinθ= 3 2 cosθ= 1 2

于是f（θ）=

3

sinθ+cosθ=

3

×

3

2

+

1

2

=2

（II）作出平面區(qū)域Ω（即感觸區(qū)域ABC）如圖所示
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）
于是0≤θ≤

π

2

∴f（θ）=

3

sinθ+cosθ=2sin(θ+

π

6

)
且

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

故當(dāng)θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時(shí)，f（θ）取得最大值2
當(dāng)θ+

π

6

=

π

6

，即θ=0時(shí)，f（θ）取得最小值1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．