Question

已知數(shù)列{a_n}為公差不為0的等差數(shù)列，S_n為前n項(xiàng)和，a₅和a₇的等差中項(xiàng)為11，且a₂•a₅=a₁•a₁₄．令bn=

1

an•an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．
（1）求a_n及T_n；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于a₅和a₇的等差中項(xiàng)為11，可得a₆=11，又a₂•a₅=a₁•a₁₄．可得

a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d)

，又公差d≠0，解得a₁及d．即可得到a_n．進(jìn)而得到b_n，利用“裂項(xiàng)求和”即可得到T_n．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

．當(dāng)m=2時(shí)，化為

4

25

=

n

3(2n+1)

，解得一組m，n的值滿足條件．當(dāng)m≥3時(shí)，由于

m

2m+1

關(guān)于m單調(diào)遞增，可知

n

3(2n+1)

≥

9

49

，化為5n+27≤0，由于n＞m＞1，可知上式不成立．

解答：解：（1）∵a₅和a₇的等差中項(xiàng)為11，∴a₆=11，又a₂•a₅=a₁•a₁₄．
可得

a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d)

，又公差d≠0，解得

a1=1 d=2

∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

．
①當(dāng)m=2時(shí)，化為

4

25

=

n

3(2n+1)

，解得n=12，此時(shí)m=2，n=12．
②當(dāng)m≥3時(shí)，由于

m

2m+1

關(guān)于m單調(diào)遞增，
∴

n

3(2n+1)

≥

9

49

，化為5n+27≤0，由于n＞m＞1，可知上式不成立．
綜上可知：存在唯一一組正整數(shù)m=2，n=12（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和“裂項(xiàng)求和”、等比數(shù)列的單調(diào)性存在性問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．