已知函數(shù) 數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若a>0,討論f(x)的單調(diào)性.

解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0},….(1分)
當(dāng)a=-時(shí),f′(x)=-,….(2分)
令f′(x)=0,在[1,e]上得極值點(diǎn)x=2,
x[1,2)2(2,e]
f′(x)+0-
f(x)2ln2-1
….(4分)
∵f(1)=-,f(e)=2-,….(5分)
f(1)<f(e),
∴f(x)max=f(2)=2ln2-1,f(x)min=f(1)=-.….(7分)
(Ⅱ)f′(x)=,….(8分)
①0<a<時(shí),由f′(x)>0得0<x<2或x>,
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,2),(,+∞),
由f′(x)<0得2<x<,
所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2,); ….(10分)
②a=時(shí),f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,且當(dāng)且僅當(dāng)f′(2)=0,
∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增; ….(11分)
③當(dāng)a>時(shí),由f′(x)>0得0<x<或x>2,
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,),(2,+∞),
由f′(x)<0得<x<2,
所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(,2).….(13分)
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=-時(shí),可求得f′(x),令f′(x)=0,可求得極值點(diǎn),將x的取值情況,f′(x)正負(fù)情況及f(x)的增減情況列表,可求得函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)由于2-=,對(duì)0<a<,a=及a>時(shí)分類討論,根據(jù)f′(x)的正負(fù)情況即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,突出考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想與分析推理能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a+log2x(當(dāng)x≥2時(shí))
x2-4
x-2
(當(dāng)x<2時(shí))
在點(diǎn)x=2處
連續(xù),則常數(shù)a的值是( 。
A、2B、3C、4D、5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=x•2x,當(dāng)f'(x)=0時(shí),x=
-
1
ln2
-
1
ln2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=ax3+bx2,當(dāng)x=1時(shí),有極大值3
(1)求函數(shù)的解析式
(2)寫出它的單調(diào)區(qū)間
(3)求此函數(shù)在[-2,2]上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=cosx+x,當(dāng)x∈[-
π
2
,
π
2
]
時(shí),該函數(shù)的值域是
[-
π
2
,
π
2
]
[-
π
2
π
2
]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a+log2x(當(dāng)x≥2時(shí))
x2-4
x-2
(當(dāng)x<2時(shí))
在點(diǎn)x=2處
連續(xù),則常數(shù)a的值是
3
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案