已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=a,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足2bn=(n+1)an;
(1)若a1、a3、a4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)任意n∈N*都有bn≥b5成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)數(shù)列{cn}滿足 cn+1-cn=(
12
)n(n∈N*)
,其中c1=1,f(n)=bn+cn,當(dāng)a=-20時(shí),求f(n)的最小值(n∈N*).
分析:(1)根據(jù)a1、a3、a4成等比數(shù)列,建立等式關(guān)系,可求出a的值,從而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
2)根據(jù)題意數(shù)列{an}是等差數(shù)列可得其通項(xiàng)公式為an=2n+(a-2),進(jìn)而得到bn的表達(dá)式,是一個(gè)關(guān)于n的二次式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.
解答:解:(1)因?yàn)閍1、a3、a4成等比數(shù)列,所以a1•a4=a32,即a•(a+6)=(a+4)2,a=-8.
所以an=-8+(n-1)×2=2n-10…(4分)
(2)由2bn=(n+1)anbn=n2+
a
2
n+
a-2
2
=(n+
a
4
)2-(
a-4
4
)2
,…(6分)
由題意得:
9
2
≤-
a
4
11
2
,-22≤a≤-18…(10分)
(3)因?yàn)?span id="jk2lexz" class="MathJye">cn+1-cn=(
1
2
)n
所以cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-2+(
1
2
)n-1
=
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
=2-
1
2n-1
…(13分)
所以f(n)=bn+cn=n2+
a
2
n+
a-2
2
+2-(
1
2
)n-1
,
f(n+1)=(n+1)2+
a
2
(n+1)+
a-2
2
+2-(
1
2
)n-1
f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+
a
2
(n+1)+
a-2
2
+2-(
1
2
)
n
]
-[n2+
a
2
n+
a-2
2
+2-(
1
2
)
n-1
]
=2n+1+(
1
2
)n-10=2n+(
1
2
)n-9
…(14分)
所以當(dāng)k>10時(shí),f(n+1)-f(n)=2n+(
1
2
)n-9>0

即f(5)<f(6)<…<f(n)<…(15分)
所以當(dāng)1≤n≤4時(shí),f(n+1)-f(n)=2n+(
1
2
)n-9<8+
1
2
-9<0

即f(1)>f(2)>f(3)>f(4)…(16分)
f(n)=n2+
a
2
n+
a-2
2
+2-(
1
2
)n-1=n2-10n-9-(
1
2
)n-1

所以 f(5)-f(4)<0,所以f(n)min=f(5)=-
545
16
…(18分)
點(diǎn)評(píng):對(duì)于第二問解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及二次函數(shù)的性質(zhì),并且進(jìn)行正確的運(yùn)算也是關(guān)鍵,同時(shí)考查了數(shù)列的單調(diào)性求最值,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b1=1,bn>0,數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=
1
4
的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn中S3,S4,S2成等差數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log
1
2
|an|,若Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
,求證:
1
6
≤Tn
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,且公差不為零,而等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)分別是a1,a2,a6
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(II)若b1+b2+…bk=85,求正整數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,又?jǐn)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=nan
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=
1bn(2an+3)
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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