Question

將編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)同質(zhì)量的小球，隨機(jī)地放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小盒中，每盒僅放一個(gè)小球，若第i（i=1，2，3，4，5）號(hào)小球恰好放入第i號(hào)小盒，則稱其為一個(gè)匹對(duì)，用ξ表示匹對(duì)的個(gè)數(shù)．
（1）求第3號(hào)小球恰好放入第3號(hào)小盒的概率．
（2）求1號(hào)小球不落入1號(hào)小盒且5號(hào)小球也不落入5號(hào)小盒的概率．
（3）求匹對(duì)的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)第3號(hào)小球恰好放入第3號(hào)小盒記為時(shí)間A，有古典概型隨機(jī)事件的概率公式可得；
（2）由題意記1號(hào)小球不落入1號(hào)小盒且5號(hào)小球不落入5號(hào)小盒的事件記為B，利用古典概型隨機(jī)事件的概率公式即可求得；
（3）由于ξ表示匹對(duì)的個(gè)數(shù)，由題意則ξ可能取：0，1，2，3，5，并利用古典概型隨機(jī)事件的概率公式及排列數(shù)與組合數(shù)，求出其分布列及期望．

解答：解：（1）第3號(hào)小球恰好放入第3號(hào)小盒記為時(shí)間A，則
P（A）=

A 4 4

A 5 5

=

1

5

，
（2）1號(hào)小球不落入1號(hào)小盒且5號(hào)小球不落入5號(hào)小盒的事件記為B，
則P（B）=

A 5 5 -2 A 4 4 + A 3 3

A 5 5

=

13

20

，
（3）由題意ξ可能�。�0，1，2，3，5，則
P(ξ=1)=

C 1 5 ×9

A 5 5

=

3

8

，P(ξ=2)=

C 2 5 ×2

A 5 5

=

1

6

，P(ξ=3)=

C 3 5

A 5 5

=

1

12

，P(ξ=5)=

1

A 5 5

=

1

120

，P(ξ=0)=1-

3

8

-

1

6

-

1

12

-

1

120

=

11

30

  
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	5
P	11 30	3 8	1 6	1 12	1 120

Eξ=0×

11

30

+1×

3

8

+2×

1

6

+3×

1

12

+5×

1

120

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等可能事件的概率公式，離散型隨機(jī)變量的定義及其分布列，并且利用分布列求出期望，還考查了考慮問(wèn)題時(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S及計(jì)算能力．