Question

如圖,已知兩個正四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的高分別為1和2,AB=4.

(1)證明PQ⊥平面ABCD;

(2)求異面直線AQ與PB所成的角;

(3)求點P到平面QAD的距離.

Answer 1

(1)證明:取AD的中點M,連結(jié)PM、QM.

因為P—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐,所以AD⊥PM,AD⊥QM.

從而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM,

所以PQ⊥AD.

同理,PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解析:連結(jié)AC、BD,設(shè)AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上,從而P、A、Q、C四點共面.

取OC的中點N,連結(jié)PN.

因為,

所以,從而AQ∥PN,

∠BPN(或其補角)是異面直線AQ與PB所成的角.

連結(jié)BN.

因為PB=

,

所以cos∠BPN=.

從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

(3)解析:由(1)知,AD⊥平面PQM,所以平面QAD⊥平面PQM.

過P作PH⊥QM于H,則PH⊥平面QAD,所以PH的長為點P到平面QAD的距離.

連結(jié)OM,因為OM=AB=2=OQ,

所以∠MQP=45°.

又PQ=PO+QO=3,于是PH=PQsin45°=,

即點P到平面QAD的距離為.