Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣a）lnx+b．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）在[ ，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)a＞1且函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx+b，

∴f′（x）=1+lnx≥0在[ ，+∞）上恒成立，

∴f（x）在[ ，+∞）單調(diào)遞增，

∴f（x）min=f（ ）=﹣ +b，

當(dāng)﹣ +b≤0時(shí)，即b≥ 時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，

當(dāng)﹣ +b＞0時(shí)，即b= ，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，

（2）解：∵f′（x）=lnx+ ，x∈（1，e）

令g（x）=lnx+ ，

∴g′（x）= + ＞0恒成立，

∴g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，

∴g（x）＞g（1）=1﹣a，g（x）＜g（e）=2﹣ ，

∵函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值，

∴ ，

解得1＜a＜2e，

故a的取值范圍為（1，2e）

【解析】（1）先求導(dǎo)，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)最小值和0的關(guān)系分類討論即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，（2）函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值時(shí)，則函數(shù)f（x）在（1，e）上不單調(diào)，先求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+ ，得到函數(shù)在（1，e）上單調(diào)遞增， 即可以得到 ，解得即可
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．