設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x-
1
4

(1)若函數(shù)的定義域?yàn)閇0,3],求f(x)的值域;
(2)若定義域?yàn)閇a,a+1]時(shí),f(x)的值域是[-
1
2
,
1
16
],求a的值.
分析:本題考查二次函數(shù)的值域問(wèn)題,第(1)小問(wèn)考查的是定軸定區(qū)間的值域問(wèn)題,比較容易,第(2)小問(wèn)是值域逆向問(wèn)題,由于區(qū)間含有參數(shù)a,所以需要對(duì)函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論,有時(shí)還需要考慮區(qū)間的中點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置關(guān)系.
解答:解:(1)∵f(x)=(x+
1
2
)
2
-
1
2
,
∴對(duì)稱軸為x=-
1
2
.∵-
1
2
<0≤x≤3,
∴f(x)的值域是[f(0),f(3)],即[-
1
4
,
47
4
]

(2)∵f(x)的最小值為-
1
2
,
∴對(duì)稱軸x=-
1
2
∈[a,a+1].
a≤ -
1
2
a+1≥-
1
2

解得-
3
2
≤a≤-
1
2

∵區(qū)間[a,a+1]的中點(diǎn)為x0=a+
1
2
,
當(dāng)a+
1
2
≥-
1
2
,即-1≤a≤-
1
2
時(shí),
f(x)最大值為f(a+1)=
1
16

∴(a+1)2+(a+1)-
1
4
=
1
16

∴16a2+48a+27=0.
∴a=-
3
4
(a=-
9
4
舍去)

當(dāng)a+
1
2
<-
1
2
,即-
3
2
≤a<-1時(shí),
f(x)最大值為f(a)=
1
16
,
∴a2+a-
1
4
=
1
16

∴16a2+16a-5=0.
∴a=-
5
4
(a=
1
4
舍去)

綜上知a=-
3
4
或a=-
5
4
點(diǎn)評(píng):本題涉及的主要數(shù)學(xué)思想是分類討論的思想,對(duì)于分類討論的題目,我們要弄清楚分類的標(biāo)準(zhǔn),做到不重復(fù)不漏掉;
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求函數(shù)f(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時(shí)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.(注:(ln(x+1))′=
1x+1
).
(1)討論f(x)的單調(diào)性.
(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)當(dāng)m=2時(shí),若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
(1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
(2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:不等式ln
n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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