【題目】如圖,在矩形中,已知,點、分別在、上,且,將四邊形沿折起,使點在平面上的射影在直線上.

(I)求證: ;

(II)求點到平面的距離;

(III)求直線與平面所成的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)2(3)

【解析】試題分析:

(1)由折疊關系可得平面,

(2)利于題意結合勾股定理列方程組,求解可得點到平面的距離為2;

(3)做出直線與平面所成的角,結合(1)(2)的結論可得直線與平面所成的正弦值為.

試題解析:

解:(1)由于平面, ,又由于, ,

平面,

法一:(2)設, ,過垂直,

因線段, 在翻折過程中長度不變,根據勾股定理:

,可解得

線段長度為,即點的平面的距離為

(2)延長于點,因為

到平面的距離為點到平面距離的,

平面的距離為,而

直線與平面新角的正弦值為

法二:(2)如圖,過點,過點平面,分別以、、、、軸建立空間直角坐標系,設點,由于

解得于是,所以線段的長度為

即點到平面的距離為

(3)從而,故,

設平面的一個法向量為,設直線與平面所成角的大小為

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【題目】f(x)是定義在R上的奇函數(shù),x,yR都有f(xy)f(x)f(y),且當x>0,f(x)<0f(1)2.

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(2)求證:f(x)R上的減函數(shù);

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46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中,

(1)根據散點圖判斷, 哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)

(2)根據(1)的判斷結果及表中數(shù)據,建立關于的回歸方程;

(3)已知這種產品的年利潤的關系為.根據(2)的結果回答下列問題:

①年宣傳費=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?

②年宣傳費為何值時,年利潤的預報值最大?

附:對于一組數(shù)據, ,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為

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【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

(Ⅰ)當0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達式;

(Ⅱ)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).

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