Question

已知復數均為實數，為虛數單位，且對于任意復數。

（Ⅰ）試求的值，并分別寫出和用、表示的關系式；

（Ⅱ）將(、)作為點的坐標，(、)作為點的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，當點在直線上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。

Answer 1

[解]（1）由題設，，

于是由，                            

因此由，

得關系式                                

 [解]（2）設點在直線上，則其經變換后的點滿足

，                                   

消去，得，

故點的軌跡方程為                       

 [解]（3）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，

∴所求直線可設為，                              

[解法一]∵該直線上的任一點，其經變換后得到的點

仍在該直線上，

∴，

即，

當時，方程組無解，

故這樣的直線不存在。                                           

當時，由

得，

解得或，

故這樣的直線存在，其方程為或，                      

 [解法二]取直線上一點，其經變換后的點仍在該直線上，

∴，

得，                                            …（14分）

故所求直線為，取直線上一點，其經變換后得到的點仍在該直線上。

∴，                                    

即，得或，

故這樣的直線存在，其方程為或