Question

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數(shù)．有下列命題：
①在內(nèi)單調(diào)遞增;
②和之間存在“隔離直線”, 且b的最小值為-4;
③和之間存在“隔離直線”, 且k的取值范圍是;
④和之間存在唯一的“隔離直線”．
其中真命題的個(gè)數(shù)有(      )．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

C

解析試題分析：(1)=，，則解得，所以在內(nèi)單調(diào)遞增;故①正確．
(2)和之間存在“隔離直線”,設(shè)“隔離直線”為，當(dāng)“隔離直線”與同時(shí)相切時(shí)，截距最小，令切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為所以，故，所以，此時(shí)截距最小，故②正確；此時(shí)斜率為，k的取值范圍是．故③錯(cuò)誤．
④令F（x）=h（x）-m（x）=x²-2elnx（x＞0），再令F′（x）═=0，x＞0，得x=，
從而函數(shù)h（x）和m（x）的圖象在x=處有公共點(diǎn)．
因此存在h（x）和m（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k，則
隔離直線方程為y-e=k（x-），即y=kx-k+e．
由h（x）≥kx-k+e可得 x²-kx+k-e≥0當(dāng)x∈R恒成立，
則△=k²-4k+4e=≤0，只有k=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為：y=2x-e．
同理證明，由φ（x ）≤kx-k+e，可得只有k=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為：y=2x-e．
綜上可得，函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2x-e，故④正確．
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題；復(fù)合命題的真假；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值