Question

已知曲線C：x2+

y2

a

=1，直線l：kx-y-k=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，若|MN|=

2

，求曲線C的方程；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，試問在曲線C上是否存在點(diǎn)Q，使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）分a＜0 時(shí)，a=1 時(shí)，0＜a＜1 時(shí)，a＞1 時(shí)這四種情況分別討論．
（2）把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式求出 a 的值．
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線，直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點(diǎn)（1，0），不妨設(shè)為點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)N（x₂，y₂），把直線l的方程代入曲線C的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)N坐標(biāo)及k值，由

OM

+

ON

=λ

OQ

，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）對(duì)于曲線C：x2+

y2

a

=1，當(dāng)a＜0 時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線；
當(dāng)a=1 時(shí)，曲線表示單位圓；   當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓；
當(dāng)a＞1 時(shí)，曲線表示曲線表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓．
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線l的方程為 y=x-1，代入曲線C：x2+

y2

a

=1得，（a+1）x²-2x+1-a=0，
∴x₁+x₂=

2

a+1

，x₁•x₂=

1-a

a+1

，由弦長(zhǎng)公式得  |MN|=

2

=

1+k2

•|x1-x2| 
=

2

•

(x1+x2)2-2x1•x2

=

2

•

( 2 a+1 )2 - 2• 1-a a+1

，∴

2(a2+1) (a+1)2

=1，
∴a=1．
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，曲線C：x2+

y2

a

=1 即 C：x²-y²=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線．
直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點(diǎn)（1，0），不妨設(shè)為點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)N（x₂，y₂）．
把直線l：kx-y-k=0代入曲線C的方程得 （1-k²）x²+2k² x-k²-1=0，由題意知，1和x₂是此方程的兩個(gè)根，
△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-1）＞0，∴1+x₂=-

2k2

1-k2

，1×x₂=

-k2-1

1-k2

，∴k=0．
∵

OM

+

ON

=λ

OQ

，∴

OQ

 =

1

λ

(

OM

+

ON

)=

1

λ

（ 1+x₂，0+y₂）=

1

λ

（ 0，0）=（0，0）．
∴點(diǎn)Q （0，0），故點(diǎn)Q不在曲線C上，故不存在點(diǎn)Q滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程表示的曲線，弦長(zhǎng)公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的難點(diǎn)．