Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+

3

2

（ω∈R，x∈R）的最小正周期為π，且圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=1-f（x）的圖象與直線y=a在[0，

π

2

]上只有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的公式和二倍角公式進(jìn)行化簡，再由最小正周期求出ω的值，最后根據(jù)圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）將（1）中函數(shù)f（x）的解析式代入到y(tǒng)=1-f（x）中，然后在同一坐標(biāo)系中畫出y=1-f（x）與y=a的圖象，進(jìn)而根據(jù)圖象可求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+

3

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

（1+cos2ωx）+

3

2

=sin（2ωx-

π

6

）+1，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

|2ω|

=π，即ω=±1，
∴f（x）=sin（±2x-

π

6

）+1．
①當(dāng)ω=1時，f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，
∴f（

π

6

）=sin

π

6

+1不是函數(shù)的最大值或最小值，
∴其圖象不關(guān)于x=

π

6

對稱，舍去．
②當(dāng)ω=-1時，f（x）=-sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（

π

6

）=-sin

π

2

+1=0是最小值，
∴其圖象關(guān)于x=

π

6

對稱．
故f（x）的解析式為f（x）=1-sin（2x+

π

6

）．
（2）∵y=1-f（x）=sin（2x+

π

6

）在同一坐標(biāo)系中作出
y=sin（2x+

π

6

）和y=a的圖象，
由圖可知，直線y=a在a∈[-

1

2

，

1

2

)或a=1時，兩曲線只有一個交點，
∴a∈[-

1

2

，

1

2

)或a=1．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應(yīng)用和最小正周期的求法．考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的簡單應(yīng)用和靈活能力．