【題目】已知橢圓:的左焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)圓:上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別記為,,直線,分別與圓相交于異于點(diǎn)的,兩點(diǎn).
(i)求證:;
(ii)求的面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)證明見(jiàn)解析;(ii).
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意可知,,,再結(jié)合即可解出,得到
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)(i)根據(jù)直線,的斜率都存在或者直線,其中一條直線斜率不存在分類(lèi)討論,當(dāng)直線,的斜率都存在時(shí),聯(lián)立直線與橢圓方程,根據(jù)可得直線,的斜率的關(guān)系,結(jié)合點(diǎn)在圓上可得,即證出,當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí),可確定點(diǎn)坐標(biāo),即可求出,兩點(diǎn)坐標(biāo),易得;
(ii)設(shè)出點(diǎn),,分類(lèi)討論直線的斜率存在時(shí)以及不存在時(shí)的情況,由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立可得,即可得到直線的斜率存在或不存在時(shí)的方程為,同理可得直線的方程為,即可得直線的方程為,再與橢圓方程聯(lián)立求得弦長(zhǎng),由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離,從而得到的面積的表達(dá)式,再根據(jù)換元法以及函數(shù)值域的求法即可求解.
(Ⅰ)∵橢圓的左焦點(diǎn),∴.
將代入,得.
又,∴,.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)(i)設(shè)點(diǎn).
①當(dāng)直線,的斜率都存在時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為.
由,消去,
得.
.
令,整理得.
設(shè)直線,的斜率分別為,.∴.
又,∴.
∴,即為圓的直徑,∴.
②當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí),不妨設(shè),
則直線的方程為.
∴,,也滿足.
綜上,有.
(ii)設(shè)點(diǎn),.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為.
由,消去,得.
.
令,整理得.
則.
∴直線的方程為.
化簡(jiǎn)可得,即.
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),
直線的方程為或,也滿足.
同理,可得直線的方程為.
∵在直線,上,∴,.
∴直線的方程為.
由,消去,得.
∴,.
∴
.
又點(diǎn)到直線的距離.
∴.
令,.則.
又,∴的面積的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線的交線為直線.
(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸交于點(diǎn),與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)圓:上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別記為,,直線,分別與圓相交于異于點(diǎn)的,兩點(diǎn).
(i)當(dāng)直線,的斜率都存在時(shí),記直線,的斜率分別為,.求證:;
(ii)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有.
(1)若,求h(x)的表達(dá)式;
(2)若,求k的取值范圍;
(3)若求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,且,,.
(1)證明:平面平面;
(2)有一動(dòng)點(diǎn)在底面的四條邊上移動(dòng),求三棱錐的體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(t為參數(shù)),曲線,(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線,的極坐標(biāo)方程;
(2)射線分別交,于A,B兩點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn),距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓,該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息,解決下面的問(wèn)題:如圖,在長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)在棱上,,動(dòng)點(diǎn)滿足.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________;若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng),為棱的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最小值為___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在中,為直角,,,,沿將折起,使,得到如圖②的幾何體,點(diǎn)在線段上.
(1)求證:平面平面;
(2)若平面,求直線與平面所成角的正弦值.
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