Question

（2012•香洲區(qū)模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)A為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為B，離心率為

3

2

（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)(0，

2

)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-

4 2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)A為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，確定a的值，根據(jù)離心率，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，根據(jù)線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-

4 2

5

，即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為A（2，0），
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)A為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)
∴a=2…（2分）
∵離心率e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

…（3分）
故b²=a²-c²=1…（5分）
所以橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1…（6分）
（2）設(shè)直線l：y=kx+

2

由

y=kx+ 2 x2+4y2=4

，消去y可得(4k2+1)x2+8

2

kx+4=0…（8分）
因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，所以△=128k²-16（4k²+1）＞0
解得|k|＞

1

2

…（9分）
又x1+x2=

-8 2 k

4k2+1

，x1x2=

4

4k2+1

…（10分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀）
因?yàn)榫�段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-

4 2

5

，所以x0=

x1+x2

2

=

-4 2 k

4k2+1

=-

4 2

5

…（12分）
解得k=1或k=

1

4

…（13分）
因?yàn)?span id="vj7morb" class="MathJye">|k|＞

1

2

，所以k=1
因此所求直線l：y=x+

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．