已知函數(shù)f(x)=lnxax-1(a∈R).

(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;

(2)當(dāng)a時(shí),討論f(x)的單調(diào)性.

解析 (1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=lnxx-1,x∈(0,+∞).

f′(x)=+1-,∴f(2)=ln2+2,f′(2)=1.

∴曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為yx+ln2.

(2)因?yàn)?i>f(x)=lnxax-1,

所以f′(x)=a=-,x∈(0,+∞).

g(x)=ax2x+1-ax∈(0,+∞),

①當(dāng)a=0時(shí),g(x)=-x+1,x∈(0,+∞).

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)g(x)>0,此時(shí)f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)g(x)<0,此時(shí)f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

②當(dāng)a≠0時(shí),由f′(x)=0,解得x1=1,x2-1.

(ⅰ)若a時(shí),f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

(ⅱ)若0<a<時(shí),由f′(x)<0,得x<1或x>-1,所以函數(shù)f(x)在(0,1),單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(ⅲ)當(dāng)a<0時(shí),由于-1<0,由f′(x)<0,得0<x<1,

x∈(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)遞減;x∈(1,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)遞增.

綜上所述:

當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0<a<時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

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已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+1,g(x)=ln(x+1).

(1)求函數(shù)y=g(x)-x在[0,1]上的最小值;

(2)當(dāng)a≥時(shí),函數(shù)t(x)=f(x)+g(x)的圖像記為曲線C,曲線C在點(diǎn)(0,1)處的切線為l,是否存在a使l與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)?若存在,求出所有a的值;否則,說明理由.

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(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

 

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(1)求a的值和切線l的方程;

(2)設(shè)曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ,求θ的取值范圍

 

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