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4、求證：正四面體ABCD中相對的兩棱（即異面的兩棱）互相垂直．
分析：因為ABCD是正四面體，各個面都是等邊三角形，取BC的中點E，則有AE⊥BC，DE⊥BC，從而有BC⊥平面AED，易得結論．
解答：證明：因為ABCD是正四面體，
各個面都是等邊三角形，
取BC的中點E
∴AE⊥BC，DE⊥BC
∴BC⊥平面AED，
而AD?平面AED，
∴BC⊥AD，
同理可證AB⊥DC，AC⊥DB．
點評：本題主要考查正四面體的結構特征，主要涉及了線線垂直，線面垂直的轉化，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在正四面體P-ABC中，D，E，F分別是AB、BC、CA的中點，求證：
（1）BC∥平面PDF；   （2）BC⊥平面PAE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖是各棱長均為a的斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠A1AC=∠A1AB=60°．求證：三棱錐A1-ABC是正四面體．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（3）有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

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科目：高中數學 來源：2014屆廣東實驗中學高二上學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

（1）求證：P-ABC為正四面體；

（2）棱PA上是否存在一點M，使得BM與面ABC所成的角為45°？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由。

（3）設棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和，并且該平行六面體的一條側棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構造出這樣的一個平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：湖南省長沙市2009-2010學年度高一第二次單元考試 題型：選擇題

（（8分）在正四面體P—ABC中,D,E,F分別是AB 、BC、 CA的中點,求證:

（１）BC∥平面PDF;   （２）BC⊥平面PAE

 

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