已知函數(shù)f(x)=x3-x2+x+b,其中a,b∈R.

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=5x-4,求函數(shù)f(x)的解析式.

(2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

 

(1) f(x)=x3-2x2+x+4

(2) 當(dāng)0<a<1時(shí),>1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)及(,+∞)上為增函數(shù),在區(qū)間(1,)上為減函數(shù);

當(dāng)a=1時(shí),=1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上為增函數(shù);

當(dāng)a>1時(shí),<1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,)及(1,+∞)上為增函數(shù),在區(qū)間(,1)上為減函數(shù).

【解析】(1)f'(x)=ax2-(a+1)x+1.

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'(2)=5,于是a=3.

由切點(diǎn)P(2,f(2))在直線y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3-2x2+x+4.

(2)f'(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).

當(dāng)0<a<1時(shí),>1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)及(,+∞)上為增函數(shù),在區(qū)間(1,)上為減函數(shù);

當(dāng)a=1時(shí),=1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上為增函數(shù);

當(dāng)a>1時(shí),<1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,)及(1,+∞)上為增函數(shù),在區(qū)間(,1)上為減函數(shù).

 

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如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=,點(diǎn)E為AB上的動點(diǎn),則D1E+CE的最小值為(　　)

(A)2 (B)

(C)+1 (D)2+

 

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已知函數(shù)f(x)=在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程為x+y+3=0.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式.

(2)設(shè)g(x)=lnx.求證:g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.

 

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如圖,定義在[-1,+∞)上的函數(shù)f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成,則f(x)的解析式為　　　　　　　　.

 

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函數(shù)f(x)=xln|x|的圖象大致是(　　)

 

 

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設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是(　　)

 

 

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如圖,設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線y=x2向點(diǎn)A(2,4)移動,記直線OP、曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1,S2,若S1=S2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　　.

 

 

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已知α是第三象限角,且cos(85°+α)=,則sin(α-95°)=　　　　.

 

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給出如下五個(gè)結(jié)論:

①存在α∈(0,),使sinα+cosα=;

②存在區(qū)間(a,b),使y=cosx為減函數(shù)而sinx<0;

③y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù);

④y=cos2x+sin(-x)既有最大值和最小值,又是偶函數(shù);

⑤y=sin|2x+|的最小正周期為π.

其中正確結(jié)論的序號是　　　.

 

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