Question

【題目】如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點．

(1)求證：EF⊥BC；

(2)求二面角E－BF－C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)先證明BC⊥平面EFO，即證EF⊥BC.（2）利用向量法求二面角E－BF－C的正弦值．

(1)證明：如圖，過E作EO⊥BC，垂足為O，連接OF，

由題意得△ABC≌△DBC，可證出△EOC≌△FOC，

所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC，

又EO⊥BC，EO∩FO＝O，

因此BC⊥平面EFO.又EF平面EFO，

所以EF⊥BC.

(2)證明：由題意，以B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，

因而E(0，，)， F(，，0)，

由題得平面BFC的一個法向量為n1＝(0,0,1)．

設(shè)平面BEF的法向量為n2＝(x，y，z)，

又＝(，，0)，＝(0，，)，由

得其中一個n2＝(1，－，1)．

設(shè)二面角E－BF－C的大小為θ，且由題意知θ為銳角，

則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，

因此sin θ＝＝，即二面角E－BF－C的正弦值為.