Question

（2013•溫州一模）如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC，
（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）若PQ⊥平面QBC，求CQ與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得QD⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得QD∥PA，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）由已知可證明△PQB≌△PQC，得到BQ=CQ．根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD⊥BC．利用線面垂直的判定定理可得AD⊥平面QBC，于是PQ∥AD，AD⊥QD．得到四邊形PADQ是矩形．設(shè)AB=AC=2a，則PQ=AD=

2

a，PD=

6

a．又BC⊥PA，BC⊥PQ，可得BC⊥平面PADQ，從而平面PBC⊥平面PADQ，過Q作QH⊥PD于點(diǎn)H，則QH⊥平面PBC．得到∠QCH是CQ與平面PBC所成的角．再利用邊角關(guān)系即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D，
∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC．
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，
又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（Ⅱ）∵PQ⊥平面QBC，
∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，
∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD⊥BC．
∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD．
∴四邊形PADQ是矩形．
設(shè)PA=AB=AC=2a，
則PQ=AD=

2

a，PD=

6

a．
又∵BC⊥PA，BC⊥PQ，∴BC⊥平面PADQ，
從而平面PBC⊥平面PADQ，過Q作QH⊥PD于點(diǎn)H，則QH⊥平面PBC．
∴∠QCH是CQ與平面PBC所成的角．
在Rt△PQD中，PQ•QD=PD•QH，則QH=

2• 2 a

6

=

2 3

3

a，CQ=BQ=

6

a．
∴sin∠QCH=

QH

CQ

=

2 3

3

×

1

6

=

2

3

．
∴CQ與平面PBC所成角的正弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握空間中的線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角的定義、矩形的判定與性質(zhì)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)定理、等積變形是解題的關(guān)鍵．