Question

如圖，四棱錐中,面，、分別為、的中點(diǎn)，，.

（1）證明：∥面；
（2）求面與面所成銳角的余弦值.

Answer 1

(1)見解析；（2）.

解析試題分析：（1）(1) 利用三角形中位線定理，得出∥ .
（2）利用平幾何知識，可得一些線段的長度及，進(jìn)一步以為軸建立坐標(biāo)系，
得到，
確定面與面的法向量、：
由，可得令；
由又，可得令，進(jìn)一步得到.
本題首先探究幾何體中的線面、線線垂直關(guān)系，創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，應(yīng)用“向量法”，確定二面角的余弦值.
解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點(diǎn)所在，平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.
試題解析：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/62/d/rng82.png" style="vertical-align:middle;" />、分別為、的中點(diǎn)，
所以∥        2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ad/b/g911d1.png" style="vertical-align:middle;" />面，面
所以∥面        4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1e/a/1xltt4.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/62/d/rng82.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)
所以
所以
得，即     6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1e/a/1xltt4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
分別以為軸建立坐標(biāo)系
所以
則   8分
設(shè)、分別是面與面的法向量
則，令
又，令     11分
所以     12分

考點(diǎn)：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義，空間向量的應(yīng)用.