已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax().
(1)若函數(shù)y=f(sinx+cosx)()的最大值為,求f(x)的最小值;
(2)當(dāng)a>2時(shí),求證:f(sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).
(1);(2)見解析.
【解析】
試題分析:(1)先求的值域,再討論a的范圍,根據(jù)最大值,求最小值;(2)利用導(dǎo)數(shù)先求sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x的值域,再根據(jù)二次函數(shù)求結(jié)論.
試題解析:(1)令,, 2分
,當(dāng)a<0時(shí),t=–2時(shí),,
解得:
此時(shí),. 2分
當(dāng)時(shí),t=2時(shí),,解得:
此時(shí),
綜合上述,條件滿足時(shí),的最小值為 2分
(2)x∈R,且
又,故設(shè),則有
設(shè)(其中t∈(0,1)) 2分
2分
令,得
當(dāng)時(shí),,所以在(0,)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,所以在(,1)單調(diào)遞增,
時(shí)取最小值等于
即有 3分
當(dāng)a>2時(shí),的對稱軸,
上單調(diào)遞增,
2分
考點(diǎn):1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性;2、二次函數(shù);3、導(dǎo)數(shù)與二次函數(shù)、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.
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x |
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