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(2012•許昌縣一模)如圖,四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ASCD.設AB=2.
(I)證明:AB⊥平面VAD;
(II)若E是VA上的動點,當面DCE⊥面VAB時,求三棱錐V-ECD的體積.
分析:(Ⅰ)由已知中平面VAD⊥底面ABCD,ABCD是正方形,我們根據正方形的性質及面面垂直的性質定理,得到AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AB⊥平面VAD,說明平面VAD⊥平面ECD.當E是VA的中點時,證明面DCE⊥面VAB,利用三棱錐V-ECD的體積等于三棱錐C-EVD的體積,求解即可.
解答:(Ⅰ)證明:平面VAD⊥平面ABCD,底面是正方形,∴AB⊥AD,
AB?平面ABCD,
平面VAD∩平面ABCD=AD,
∴AB⊥面VAD.4分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知AB⊥平面VAD,
∴CD⊥平面VAD.
∴平面VAD⊥平面ECD.
又∵△VAD是正三角形,
∴當E是VA的中點時,ED⊥VA.
∴VA⊥平面EDC.
∴面DCE⊥面VAB
三棱錐V-ECD的體積等于三棱錐C-EVD的體積,
VC-VED=
1
3
S△VED•DC
=
1
3
×
1
2
×
3
×1×2=
3
3
.12分
點評:本題考查直線與平面垂直,幾何體的體積的求法,考查計算能力,轉化思想.
練習冊系列答案
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