Question

．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程 的兩實(shí)根，且，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（1）求；

（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

   （3）設(shè)，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得對(duì)都成立，若存在，

求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) ，

(2)略

(3)

【解析】

解：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052405321612505480/SYS201205240535527343140679_DA.files/image004.png">，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，

        所以.                                          …………1分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052405321612505480/SYS201205240535527343140679_DA.files/image009.png">，所以，，.                         …………3分（2）    ………… 6分

        故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. ………… 7分

（3）由（2）得，

         即,

                                           …………9分

         又，

         要使，對(duì)都成立，

         即（*）………10分

        ①當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得：

           ,

           即,

           對(duì)任意正奇數(shù)都成立，

           故為正奇數(shù)）的最小值為1.

                                                           …………12分

           ②當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得：

           ，

           即，

           對(duì)任意正偶數(shù)都成立，

           故為正偶數(shù)）的最小值為

                                                          …………13分

           綜上所述得，存在常數(shù)，使得對(duì)都成立，

          的取值范圍為.                                   …………14分