Question

如圖所示，五面體ABCDE中，正ABC的邊長為1，AE平面ABC，CD∥AE，且CD=AE．

(I)設(shè)CE與平面ABE所成的角為，AE=若求的取值范圍；

(Ⅱ)在(I)和條件下，當(dāng)取得最大值時(shí)，求平面BDE與平面ABC所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

解：方法一：

（Ⅰ）取中點(diǎn),連結(jié)、,由為正三角形，得，又，則，可知，所以為與平面所成角．……………2分

，……………4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052407042510933012/SYS201205240705361093478874_DA.files/image015.png">，得，得.……………6分

（Ⅱ）延長交于點(diǎn)Ｓ，連，

可知平面平面=.………………………7分

由，且，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052407042510933012/SYS201205240705361093478874_DA.files/image025.png">=1，從而，…………………8分

又面，由三垂線定理可知，即為平面與平面所成的角；……………………10分

則，

從而平面與面所成的角的大小為.………………12分

方法二：

解：

（Ⅰ）如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CD為y、z軸，垂直于CA、CD的直線CT為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則

設(shè)，，，.……………2分

取AB的中點(diǎn)M，則，

易知,ABE的一個(gè)法向量為,

由題意.………………4分

由，則，ww..com                           

得.…………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知最大值為，則當(dāng)時(shí)，設(shè)平面BDE法向量為，則

取，………………8分

又平面ABC法向量為，……………………10分

所以=，

所以平面BDE與平面ABC所成角大小……………………12分

【解析】略