Question

一個(gè)棱柱的直觀(guān)圖和三視圖（主視圖和俯視圖是邊長(zhǎng)為a的正方形，左視圖是直角邊長(zhǎng)為a的等腰三角形）如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：GN⊥AC；
（Ⅱ）求三棱錐F-MCE的體積；
（Ⅲ）當(dāng)FG=GD時(shí)，證明AG∥平面FMC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由三視圖易得該幾何體是一個(gè)底面為等腰直角三角形的直三棱柱，且側(cè)面積ABCD是正方形，根據(jù)已知，我們易得AC⊥面ABCD
，進(jìn)而得到GN⊥AC．
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)化思想，我們可得V_E-FMC=V_ADF-BCE-V_F-AMCD-V_E-MBC，把相應(yīng)的棱長(zhǎng)代入體積公式，即可得到結(jié)論．
（Ⅲ）連接DE交FC于Q，連接QG，我們易得AM∥GQ，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，我們易得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由三視圖可知，多面體是直三棱柱，
兩底面是直角邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，
側(cè)面ABCD，CDFE是邊長(zhǎng)為a的正方形．（3分）
連接DN，因?yàn)镕D⊥CD，F(xiàn)D⊥AD，
所以，F(xiàn)D⊥面ABCD
∴FD⊥AC
又∵AC⊥DN，
所以，AC⊥面GND，
GN?面GND
所以GN⊥AC（6分）
（Ⅱ）V_E-FMC=V_ADF-BCE-V_F-AMCD-V_E-MBC．（12分）
=
=
=．（14分）
另解：
（Ⅲ）連接DE交FC于Q，連接QG
因?yàn)镚，Q，M分別是FD，F(xiàn)C，AB的中點(diǎn)，所以GQ∥，AM∥，
所以，AM∥GQ，AMGQ是平行四邊形（9分）
AG∥QM，AG?面FMC，MQ?面FMC
所以，AG∥平面FMC．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖判斷物體的形狀，線(xiàn)面、線(xiàn)線(xiàn)垂直的轉(zhuǎn)化，棱錐體積的求法，線(xiàn)面平行的證明，其中根據(jù)三視圖判斷棱柱相關(guān)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度及相互之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．