Question

（2013•麗水一模）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，且過點（2，1），
（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=kx+t交拋物線于不同的兩點M，N，若拋物線上一點C滿足

OC

=λ(

OM

+

ON

)（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設(shè)拋物線方程為x²=2py，把點（2，1）代入求得p即可；
（II） 因為直線與圓相切，利用相切的性質(zhì)即可得出k與t 的關(guān)系式，再把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式△＞0得到t的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知滿足

OC

=λ(

OM

+

ON

)（λ＞0），即可得出λ的取值范圍．

解答：解（Ⅰ） 設(shè)拋物線方程為x²=2py，
由已知得：2²=2p所以 p=2
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x²=4y．
（Ⅱ） 因為直線與圓相切，
所以 

|t+1|

1+k2

=1⇒k2=t2+2t
把直線方程代入拋物線方程并整理得：x²-4kx-4t=0
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0
得 t＞0或t＜-3
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4ky1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t=4k2+2t
由

OC

=λ(

OM

+

ON

)=λ(x1+x2，y1+y2)=(4kλ，(4k2+2t)λ)
得 C（4kλ，（4k²+2t）λ）
因為點C在拋物線x²=4y上，
所以，16k²λ²=4（4k²+2t）λ⇒λ=1+

t

2k2

=1+

t

2t2+4t

=1+

1

2t+4

因為t＞0或t＜-3，
所以 2t+4＞4或 2t+4＜-2
所以 λ的取值范圍為 (

1

2

，1)∪(1，

5

4

)．

點評：本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線及圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．