(2007北京朝陽模擬)如下圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點，D是點A在平面BCD內(nèi)的射影．

(1)求直線EF與直線BC所成角的大��；

(2)求點O到平面ACD的距離；

(3)求二面角A－BE－F的大�。�
答案：略
解析：

解析：(1)因為E、F分別是棱AD、CD的中點．所以EF∥AC．

所以∠BCA是EF與BC所成角．

∵正四面體ABCD，∴△ABC為正三角形，

所以∠BCA=60°．

即EF與BC所成角的大小是60°．

(2)如圖，連結(jié)AO，AF，因為F是CD的中點，且△ACD，△BCD均為正三角形，

所以BF⊥CD，AF⊥CD．

因為，所以CD⊥面AFB．

因為面ACD．所以面AFB⊥面ACD．

因為ABCD是正四面體，且O是點A在面BCD內(nèi)的射影，所以點O必在正三角形BCD的中線BF上．

在面ABF中，過O做OG⊥AF，垂足為G．所以OG⊥面ACD．

即OG的長為點O到面ACD的距離．

因為正四面體ABCD的棱長為1，

在△ABF中，容易求出，

因為△AOF∽△OGF，故由相似比易求出．

所以點O到平面ACD的距離是．

(3)設(shè)△ABD中，AB邊的中線交BE于H，連結(jié)CH，則由ABCD為正四面體知CH⊥面ABD．

設(shè)HD的中點為K，則FK∥CH．所以FK⊥面ABD．

在面ABD內(nèi)，過點K作KN∥AD，KN交BE于M，交AB于N，

因為BE⊥AD，所以NM⊥BE．

連結(jié)FM，所以FM⊥BE．

所以∠NMF是所求二面角的平面角．

因為，

所以．

所以．

所以所求二面角的大小為

(或者由正四面體的對稱性，可轉(zhuǎn)求二面角的大小)．


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