Question

已知A、B、C是直線l上的不同三點(diǎn)，O是l外一點(diǎn)，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

=(

3

2

x2+1)

OB

-(lnx-y)

OC

，記y=f（x）；
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）直接利用結(jié)論：A、B、C是直線l上的不同三點(diǎn)，則

OA

=λ

OB

+(1-λ)

OC

，得(

3

2

x2+1)+(lnx-y)=1，整理即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）先求出其導(dǎo)函數(shù)．利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來(lái)求單調(diào)區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)）．

解答：解：（1）∵

OA

=(

3

2

x2+1)

OB

-(lnx-y)

OC

，且A、B、C是直線l上的不同三點(diǎn)，
∴(

3

2

x2+1)-(lnx-y)=1，∴y=

3

2

x2-lnx；（6分）
（2）∵f(x)=

3

2

x2-lnx，
∴f′(x)=3x-

1

x

=

3x2-1

x

，（8分）
∵f(x)=

3

2

x2-lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），而f′(x)=

3x2-1

x

＞0，可得x＞

3

3

∴y=f（x）在（

3

3

，+∞）上為增函數(shù)，在（0，

3

3

）是減函數(shù)，即y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

3

3

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，是對(duì)向量向量知識(shí)和函數(shù)知識(shí)的綜合考查屬于中檔題目．