Question

若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足等式a_n+2S_n=3．
（1）能否在數(shù)列中找到按原來順序成等差數(shù)列的任意三項，說明理由；
（2）能否從數(shù)列中依次抽取一個無限多項的等比數(shù)列，且使它的所有項和S滿足

9

160

＜S＜

1

13

，如果這樣的數(shù)列存在，這樣的等比數(shù)列有多少個？

Answer 1

分析：（1）由a_n+2S_n=3，得an+1=

1

3

an，從而得到an=

1

3n-1

，由此利用反證法推導(dǎo)出不存在按原來順序成等差數(shù)列的任意三項．
（2）設(shè)抽取的等比數(shù)列首項為

1

3m

，公比為

1

3n

，項數(shù)為k，且m，n，k∈N^*，則S（k）=

1 3m [1-( 1 3n )k]

1- 1 3n

＜

1 3m

1- 1 3n

，由此能推導(dǎo)出滿足題意的等比數(shù)列有且只有一個．

解答：解：（1）∵a_n+2S_n=3，∴當(dāng)n=1時，a₁+2a₁=3，解得a₁=1，
∵a_n+2S_n=3，∴a_n+1+2S_n+1=3，
兩式相減，得an+1=

1

3

an，
∴{a_n}是首項為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=

1

3n-1

，
假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為a_p，a_q，a_r（p＜q＜r），
則

2

3q-1

=

1

3p-1

+

1

3r-1

，即

2

3q

=

1

3p

+

1

3r

，
∴2•3^r-q=3^r-p+1，即3^r-q（2-3^q-p）=1，
∵P＜q＜r，∴r-q，r-p∈N^*，
∴3^r-q＞3，2-3^q-p＜0，
∴3^r-q（2-3^q-p）＜0，
∴假設(shè)不成立，∴不存在按原來順序成等差數(shù)列的任意三項．
（2）設(shè)抽取的等比數(shù)列首項為

1

3m

，公比為

1

3n

，項數(shù)為k，且m，n，k∈N^*，
則S（k）=

1 3m [1-( 1 3n )k]

1- 1 3n

＜

1 3m

1- 1 3n

，
∵

9

160

＜S＜

1

13

，∴

9

160

＜

1 3m

1- 1 3n

＜

1

13

，
∴

13 3m ＜1- 1 3n …① 9＜ 9 3n + 160 3m …②

，
由①得

1

3n

+

13

3m

＜1，∴m≥3，n≥1．
由②得

160

3m

+

9

3n

＞9，
當(dāng)m=3，n=1時，適合條件，這時等比數(shù)列首項為

1

33

=

1

27

，公比為

1

31

=

1

3

，
當(dāng)m=3，n＞1時，均不合適；當(dāng)m＞3，n≥1時，均不合適，
綜上所述，滿足題意的等比數(shù)列有且只有一個．

點評：本題是對等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合考查，對數(shù)學(xué)思維的要求較高，是道綜合性很強的好題．解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．