Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，若

AP

=λ

AB

+μ

AD

（λ，μ∈R），則λ+2μ的取值范圍是（　　）

• A．[3-

  2

  ，3+

  2

  ]
• B．[3-

  2

  2

  ，3+

  2

  2

  ]
• C．[3-

  10

  10

  ，3+

  10

  10

  ]
• D．[3-3

  10

  10

  ，3+3

  10

  10

  ]

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可求出λ，μ滿足的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)柯西不等式得到λ+2μ的取值范圍．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則
A（0，0），D（0，4），C（2，4），B（2，0）
則

AB

=（2，0），

AD

=（0，4），
令P（x，y），則

AP

=（x，y），
∵

AP

=λ

AB

+μ

AD

∴

x=2λ y=4μ

∵點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，
∴（x-2）²+（y-4）²=1
即（2λ-2）²+（4μ-4）²=1
由柯西不等式可得3-

2

2

≤λ+2μ≤3+

2

2

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，柯西不等式，其中根據(jù)已知求出λ，μ滿足的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．