設f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.

(1)求證:AB;

(2)如果A={－1，3}，求B。

(1)證明略(2) B={－，－1，，3}


解析:

(1)證明: 設x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.

∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).

即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.

(2)證明:∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},

∴方程x2+(p－1)x+q=0有兩根－1和3，應用韋達定理，得

∴f(x)=x2－x－3.

于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,

也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x　(*)　的根.

將方程(*)變形，得(x2－x－3)2－x2=0

解得x=1,3,,－.

故B={－，－1，，3}.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設命題p：函數(shù)f(x)=x2-2ax與g(x)=x+
ax
在區(qū)間[1，2]都是減函數(shù)．
命題q：函數(shù)y=log3（x2-2x+a）值域A⊆[2，+∞）．
若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（cosωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．設f(x)=
OA
•
OB
．
（1）若a=
3
，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在區(qū)間[0，2π]內的解集；
（2）若點A是過點（-1，1）且法向量為
n
=(-1，1)的直線l上的動點．當x∈R時，設函數(shù)f（x）的值域為集合M，不等式x2+mx＜0的解集為集合P．若P⊆M恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（3）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)f（x）的性質取決于變量a、b和ω的值．當x∈R時，試寫出一個條件，使得函數(shù)f（x）滿足“圖象關于點(
π
3
，0)對稱，且在x=
π
6
處f（x）取得最小值”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在x∈[-
1
2
，1)上的最大值為
3
8
，求實數(shù)b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設F(x)=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
a
x
(a＞0)，設F(x)=f(x)+g(x)．
（I）求函數(shù)F（x）的單調區(qū)間；
（II）若以函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點P（x0，y0）為切點的切線的斜率k≤
1
3
恒成立，求實數(shù)a的最小值；
（III）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=g(
2a
x2+1
)+m-1的圖象與函數(shù)y=f（1+x2）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆江蘇省泰州中學高三上學期期中考試數(shù)學 題型：解答題

(本題滿分16分)設函數(shù)y=f(x)對任意實數(shù)x，都有f(x)=2f(x+1)，當x∈[0,1]時，f(x)=x2(1-x).
(Ⅰ)已知n∈N+，當x∈[n,n+1]時，求y=f(x)的解析式；
(Ⅱ)求證：對于任意的n∈N+，當x∈[n,n+1]時，都有|f(x)|≤；
(Ⅲ)對于函數(shù)y=f(x)(x∈[0,+∞，若在它的圖象上存在點P，使經過點P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點有多少個？并說明理由

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