Question

如圖所示，在邊長為的正方形中，點在線段上，且，，作//，分別交，于點，，作//，分別交，于點，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構成如圖所示的三棱柱．
（1）求證：平面； 
（2）若點E為四邊形BCQP內一動點,且二面角E-AP-Q的余弦值為,求|BE|的最小值.

Answer 1

（1）參考解析;（2）

試題分析：（1）依題意可得.即翻折后的.所以由.可得.又因為,所以可得：平面.
（2）依題意建立空間直角坐標系,由平面APQ寫出其法向量.假設點E(m,n,0),根據平面APE寫出其法向量.再由二面角E-AP-Q的余弦值為,可得到關于m,n的方程m+2n-6=0.再由點B到直線的距離公式即可得到結論.
（1）在正方形中，因為，
所以三棱柱的底面三角形的邊．
因為，，所以，所以．
因為四邊形為正方形，，所以，而，
所以平面．----------- 4分
（2）因為,,兩兩互相垂直．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，

所以，，
設平面的一個法向量為．
則由，即令，
則．所以．
設點E(m,n,0),
.由得:m+2n-6=0
所以|BE|的最小值為點B到線段: m+2n-6="0" 的距離------- 13分