已知向量
a
=(sin(ωx+φ),2),
b
=(1,cos(ωx+φ)),ω>0,0<φ<
π
4
.函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
),若y=f(x)的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1,且過點M(1,
7
2
).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)-1≤x≤1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
分析:(Ⅰ)首先由向量運算以及三角恒等變換化簡f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=-cos(2ωx+2φ)+3,再由y=f(x)的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1判斷出函數(shù)的周期是4,由周期公式求得ω,再由圖象過點M(1,
7
2
),代入求得φ,即得函數(shù)f(x)的表達(dá)式.
(Ⅱ)當(dāng)-1≤x≤1時,代入求得相位的取值范圍結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:(1)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
=sin2(ωx+φ)+4-1-cos2(ωx+φ),
=-cos(2ωx+2φ)+3
由題意得周期T=
=4,故ω=
π
4
…(4分)
又圖象過點M(1,
7
2
),所以
7
2
=3-cos(
π
2
+2φ)
即sin2φ=
1
2
,而0<φ<
π
4
,所以2φ=
π
6

∴f(x)=3-cos(
π
2
x+
π
6

(2)當(dāng)-1≤x≤1時,-
π
3
π
2
x+
π
6
3

∴當(dāng)-
π
3
π
2
x+
π
6
≤0時,即x∈[-1,-
1
3
]時,f(x)是減函數(shù)
當(dāng)0≤
π
2
x+
π
6
3
時,即x∈[-
1
3
,1]時,f(x)是增函數(shù)
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是[-1,-
1
3
],單調(diào)增區(qū)間是[-
1
3
,1]
點評:本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性,求解本題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的向量的坐標(biāo)運算與三角恒等變換求出函數(shù)的解析式,再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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