Question

【題目】（題文）（題文）已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn), N為弦AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求直線ON的斜率；

(2)求證:對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)M,都存在,使得成立.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由，可得，從而橢圓的方程可化為，右焦點(diǎn)，直線所在的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立化為，在利用中點(diǎn)公式與斜率公式即可求出；

（2）利用平面向量的基本定理，根與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，即可得到證明．

詳解： (1)設(shè)橢圓的焦距為,因?yàn)?/span>,所以有,故有.

從而橢圓的方程可化為:

知右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(),據(jù)題意有所在的直線方程為:. ②由①,②有:.

③設(shè),弦的中點(diǎn),由③及韋達(dá)定理有:

所以,即為所求.

(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對(duì)于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使得等式成立.設(shè),由(1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)有:,故.

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以有整理可得:

. ④

由③有:.所以

⑤又點(diǎn)在橢圓上,故有 .

⑥將⑤,⑥代入④可得:.

所以,對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn),總存在一對(duì)實(shí)數(shù),使等式成立,且.

所以存在,使得.也就是:對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn) ,總存在,使得等式成立.