Question

已知數(shù)列和滿足：，其中為實數(shù)，為正整數(shù).
（1）對任意實數(shù)，求證：不成等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當時，數(shù)列是等比數(shù)列.

試題分析：（1）證明否定性命題，可用反證法.如本題中可假設存在，使成等比數(shù)列，則可由來求，若求不出，說明假設錯誤，結論是不存在，，但這個式子化簡后為，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比數(shù)列，由題意可先求出的遞推關系，，這時還不能說明就是等比數(shù)列，還要求出，，只有當時，數(shù)列才是等比數(shù)列，因此當時，不是等比數(shù)列，當時，是等比數(shù)列.
（1）證明：假設存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,
即矛盾.
所以不成等比數(shù)列.          6分
（2）因為
        9分
又,
所以當，，(為正整數(shù))，此時不是等比數(shù)列：  11分
當時，，由上式可知，∴(為正整數(shù)) ，
故當時，數(shù)列是以為首項，－為公比的等比數(shù)列.    14分