Question

（文）已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上，其中{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n，求

lim

n→∞

Sn

Sn+1

；
（3）設(shè)Q_n（a_n，0），當(dāng)a=

2

3

時(shí)，問△OP_nQ_n的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用定義即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再代入求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，用定義即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）先直接代入公式求出S_n以及

sn

sn+1

的表達(dá)式，再分a的不同取值來求結(jié)論即可；
（3）先找到△OP_nQ_n的面積的表達(dá)式，設(shè)出對(duì)應(yīng)數(shù)列，再利用求數(shù)列最大項(xiàng)的方法求出△OP_nQ_n的面積的最大值即可．

解答：解：（1）a_n=2n-1，（n∈N^*），bn=aan=a2n-1，
∴

bn+1

bn

=a2(定值)，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）因?yàn)閧b_n}是等比數(shù)列，且公比a²≠1，
∴Sn=

a(1-a2n)

1-a2

，

Sn

Sn+1

=

1-a2n

1-a2n+2

．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=1；
當(dāng)a＞1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

1-a2n

1-a2n+2

=

lim

n→∞

1 a2n -1

1 a2n -a2

=

1

a2

．
因此，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

1，0＜a＜1 1 a2 ，a＞1

．
（3）bn=(

2

3

)2n-1，S△=

1

2

•(2n-1)•(

2

3

)2n-1，
設(shè)cn=

1

2

•(2n-1)•(

2

3

)2n-1，
當(dāng)c_n最大時(shí)，則

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，
解得

n≤2.3 n≥1.3

，n∈N^*，∴n=2．
所以n=2時(shí)c_n取得最大值

4

9

，
因此△OP_nQ_n的面積存在最大值

4

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)列最大項(xiàng)的求法和數(shù)列的極限．知識(shí)點(diǎn)較多，屬于中檔題．