Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：公差d＞0，a_n•a_n+1=4n²-1（n=1，2，3…）
①求通項公式a_n；　
②求證：．

Answer 1

解：①依題意可設(shè)a_n=a₁+（n-1）d（1分）
則a_n•a_n+1=[a₁+（n-1）d]•[a₁+nd]=a₁（a₁-d）+（2a₁-d）dn+d²n²=4n²-1
對n=1，2，3，…都成立 （3分）
，
∴又d＞0．解得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1．（6分）
②∵=（9分）
∴+++…+
=．（12分）
分析：①設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，則a_n•a_n+1=[a₁+（n-1）d]•[a₁+nd]=a₁（a₁-d）+（2a₁-d）dn+d²n²=4n²-1，所以，由此能求出a_n=2n-1．
②由=，用裂項求和法能夠證明．
點評：本題考查通項公式的求法和求證．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化，合理地運用裂項求和公式進行證明．