已知分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓 上,且直線與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)為橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),直線,與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn),.
①在軸上是否存在一個定點(diǎn),使得?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
②已知常數(shù),求的取值范圍.
(1);(2)①存在點(diǎn)的坐標(biāo)為,②.
解析試題分析:(1)利用題目條件建立關(guān)于a,b,c的方程組,解方程組即可;
(2)①對于存在性問題,可以先假設(shè)點(diǎn)存在,然后根據(jù)以及點(diǎn)P在橢圓上直線,與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn),等相關(guān)條件建立方程,看看點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是不是定值,如果是即為所求,如果不是也就說明了不存在;②利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,計(jì)算, ,進(jìn)而求出的表達(dá)式,在利用函數(shù)知識求取值范圍.
試題解析:(1)由題意得,,
, ∴,
由點(diǎn)在橢圓C上,則有:
, 2分
由以上兩式可解得.
∴橢圓方程為. 4分
(2)①橢圓右準(zhǔn)線的方程為. 5分
假設(shè)存在一個定點(diǎn),使得.設(shè)點(diǎn)().
直線的方程為,令,,∴點(diǎn)坐標(biāo)為.
直線的方程為,令,,
∴點(diǎn)坐標(biāo)為. 7分
若,則,∵ ,,
∴. 9分
∵點(diǎn)在橢圓上,∴,∴ ,代入上式,得 ,
∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. 11分
②∵, ,
∴.
∵,,∴.
∴ . 13分
設(shè)函數(shù),定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/11/0/0ldxe.png" style="vertical-align:middle;" />,
當(dāng)時,即時,在上單調(diào)遞減,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為橢圓的左右焦點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),過作垂直于軸的直線交橢圓于,設(shè) .
(1)證明: 成等比數(shù)列;
(2)若的坐標(biāo)為,求橢圓的方程;
(3)在(2)的橢圓中,過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線x2-=1.
(1)若一橢圓與該雙曲線共焦點(diǎn),且有一交點(diǎn)P(2,3),求橢圓方程.
(2)設(shè)(1)中橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)為F,直線l為橢圓的右準(zhǔn)線,N為l上的一動點(diǎn),且在x軸上方,直線AN與橢圓交于點(diǎn)M.若AM=MN,求∠AMB的余弦值;
(3)設(shè)過A、F、N三點(diǎn)的圓與y軸交于P、Q兩點(diǎn),當(dāng)線段PQ的中點(diǎn)為(0,9)時,求這個圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1:=1(a>b>0)的一個頂點(diǎn),C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
己知橢圓C:(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),點(diǎn)A(2,0)在橢圓C上,過F點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線斜率為1,求線段的長;
(3)設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)P(0,y0),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線x2-y2=2若直線n的斜率為2 ,直線n與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為P,
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足的方程(不要求寫出變量的取值范圍);
(2)過雙曲線的左焦點(diǎn)F1,作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn),期中,F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn),求△F2MN的面積S關(guān)于傾斜角的表達(dá)式。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C1:=1,橢圓C2以C1的短軸為長軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C2相交于不同的兩點(diǎn)A、B,已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)Q(0,y0)在線段AB的垂直平分線上,且=4,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:=1(a>b>0)的離心率e=,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證:兩切線的斜率之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,橢圓的的一個頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4,
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線與橢圓C交于A, B兩點(diǎn),若點(diǎn)M(, 0),求證為定值.
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