Question

數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，且滿足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n²}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

2

4 S 4 n -1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2a_nS_n-a_n²=1，得n≥2時，2（S_n-S_n-1）S_n-(Sn-Sn-1)2=1，整理后根據(jù)等差數(shù)列定義可得結(jié)論，求出S_n，根據(jù)an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n；
（Ⅱ）利用裂項相消法可求得T_n，易判斷T_n的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得T_n的最小值；

解答：解：（Ⅰ）∵2a_nS_n-a_n²=1，
∴當n≥2時，2（S_n-S_n-1）S_n-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，Sn2-Sn-12=1（n≥2），又S12=1，
∴數(shù)列{S_n²}為首項和公差都是1的等差數(shù)列．
∴Sn2=1+1×（n-1）=n，由a_n＞0知S_n＞0，∴S_n=

n

．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

，
又a₁=S₁=1適合此式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

n

-

n-1

．
（Ⅱ）∵b_n=

2

4 S 4 n -1

=

2

4n2-1

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
=1-

1

2n+1

，
可知T_n遞增，則當n=1時，T_n取得最小值為

2

3

．

點評：本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式及數(shù)列求和，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．