【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣1.
(1)對(duì)于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1∈[1,2].存在實(shí)數(shù)x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:對(duì)于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,
即為4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,
由1≤x≤2,可得4m2≤ ,
由g(x)= =4( + )2﹣ ,
當(dāng)x=2,即 = 時(shí),g(x)取得最小值,且為1,
即有4m2≤1,解得﹣ ≤m≤ ;
(2)解:對(duì)任意實(shí)數(shù)x1∈[1,2].
存在實(shí)數(shù)x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,
可設(shè)f(x)在[1,2]的值域?yàn)锳,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域?yàn)锽,
可得AB.
由f(x)在[1,2]遞增,可得A=[0,3];
當(dāng)a<0時(shí),h(x)=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]遞增,可得B=[﹣a,6﹣2a],
可得﹣a≤0<3≤6﹣2a,不成立;
當(dāng)a=0時(shí),h(x)=2x2﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]遞增,可得B=[0,6],
可得0≤0<3≤6,成立;
當(dāng)0<a≤2時(shí),由h(x)=0,解得x= >1(負(fù)的舍去),
h(x)在[1, ]遞減,[ ,2]遞增,
即有h(x)的值域?yàn)閇0,h(2)],即為[0,6﹣2a],
由0≤0<3≤6﹣2a,解得0<a≤ ;
當(dāng)2<a≤3時(shí),h(x)在[1, ]遞減,[ ,2]遞增,
即有h(x)的值域?yàn)閇0,h(2)],即為[0,a],
由0≤0<3≤a,解得a=3;
當(dāng)3<a≤4時(shí),h(x)在[1,2]遞減,可得B=[2a﹣6,a],
由2a﹣6≤0<3≤a,無(wú)解,不成立;
當(dāng)4<a≤6時(shí),h(x)在[1, ]遞增,在[ ,2]遞減,可得B=[2a﹣6,2+ ],
由2a﹣6≤0<3≤2a,不成立;
當(dāng)6<a≤8時(shí),h(x)在[1, ]遞增,在[ ,2]遞減,可得B=[a,2+ ],
由a≤0<3≤2a,不成立;
當(dāng)a>8時(shí),h(x)在[1,2]遞增,可得B=[a,2a﹣6],
AB不成立.
綜上可得,a的范圍是0≤a≤ 或a=3.
【解析】(1)由題意可得4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,由1≤x≤2,可得4m2≤ ,運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法,可得右邊函數(shù)的最小值,解不等式可得m的范圍;(2)f(x)在[1,2]的值域?yàn)锳,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域?yàn)锽,由題意可得AB.分別求得函數(shù)f(x)和h(x)的值域,注意討論對(duì)稱軸和零點(diǎn),與區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性即可得到值域B,解不等式可得a的范圍.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2 ﹣3(ω>0)
(1)若 是最小正周期為π的偶函數(shù),求ω和θ的值;
(2)若g(x)=f(3x)在 上是增函數(shù),求ω的最大值.
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A.[1,2]
B.
C.(0,2]
D.
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【題目】如圖所示,在四邊形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=
(1)求△ACD的面積;
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【題目】如圖,已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC.
(1)求證:PA∥平面QBC;
(2)PQ⊥平面QBC,求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值.
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【題目】某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了11月1日至11月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如表資料:
日期 | 11月1日 | 11月2日 | 11月3日 | 11月4日 | 11月5日 |
溫差x(℃) | 8 | 11 | 12 | 13 | 10 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 16 | 25 | 26 | 30 | 23 |
設(shè)農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(注: , )
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)若選取的是11月1日與11月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)11月2日至11月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ;
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
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【題目】水培植物需要一種植物專用營(yíng)養(yǎng)液,已知每投放(且)個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液,它在水中釋放的濃度 (克/升)隨著時(shí)間 (天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中,若多次投放,則某一時(shí)刻水中的營(yíng)養(yǎng)液濃度為每次投放的營(yíng)養(yǎng)液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中營(yíng)養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能有效.
(1)若只投放一次2個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液,則有效時(shí)間最多可能達(dá)到幾天?
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