已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8e/d/xpk2x1.png" style="vertical-align:middle;" />，且同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①；②對(duì)任意的，都有；③當(dāng)時(shí)總有.
（1）試求的值；
（2）求的最大值；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，恒有.

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）抽象函數(shù)求在特殊點(diǎn)的值，一般用賦值法，令代入抽象函數(shù)可得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/03/2/o7wic4.png" style="vertical-align:middle;" />，可得.（2）在定義域內(nèi)求抽象函數(shù)最值，一般先判斷函數(shù)單調(diào)性，再求比較定義域端點(diǎn)的函數(shù)值和極值點(diǎn)的大小.證明單調(diào)性可令，代入得進(jìn)而得函數(shù)為增函數(shù)，最大值為；
（3）在上證不等式，要分兩段、.在上，，所以.在，，所以，進(jìn)而得證.
試題解析：（1）令則有，所以有，有根據(jù)條件?可知，故.（也可令）
方法一：設(shè)，則有，即為增函數(shù)（嚴(yán)格來講為不減函數(shù)），所以，故.
方法二：不妨令，所以由?，即增函數(shù)（嚴(yán)格來講為不減函數(shù)），所以，故.
（3）當(dāng)，有，又由?可知，所以有對(duì)任意的恒成立.當(dāng)，又由?可知，所以有對(duì)任意的恒成立.綜上，對(duì)任意的時(shí)，恒有.
考點(diǎn)：1.抽象函數(shù)求值和單調(diào)性；2.證明不等式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬元）.每件商品售價(jià)為500元.通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為．當(dāng)年產(chǎn)量不足千件時(shí)，(萬元)．當(dāng)年產(chǎn)量不小于千件時(shí)，(萬元)．每件商品售價(jià)為萬元．通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
(1)寫出年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

函數(shù)
（1）設(shè)函數(shù)，若方程在上有且僅一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2m2的正四棱錐形有蓋容器（如下圖）。設(shè)容器高為m,蓋子邊長(zhǎng)為m,

（1）求關(guān)于的解析式；
（2）設(shè)容器的容積為V m3,則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？ 并求出V的最大值（求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)若時(shí)，求的值域；
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

對(duì)于函數(shù)若存在,使得成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).
已知
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若圖象上、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),且、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

張林在李明的農(nóng)場(chǎng)附近建了一個(gè)小型工廠，由于工廠生產(chǎn)須占用農(nóng)場(chǎng)的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入．工廠在不賠付農(nóng)場(chǎng)的情況下，工廠的年利潤(rùn)（元）與年產(chǎn)量（噸）滿足函數(shù)關(guān)系．若工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場(chǎng)元（以下稱為賠付價(jià)格）．
（Ⅰ）將工廠的年利潤(rùn)（元）表示為年產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，并求出工廠獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；
（Ⅱ）若農(nóng)場(chǎng)每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額（元），在工廠按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場(chǎng)要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價(jià)格是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，當(dāng)時(shí)，．
（1）證明：；
（2）若成立，請(qǐng)先求出的值，并利用值的特點(diǎn)求出函數(shù)的表達(dá)式．

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